자연수의 원리 1과2

수학의 시대/수학의 실패

이번 포스팅에서는 자연수의 원리에 대해서 좀 이야기 해보려고 합니다. 현대 수학 교육의 문제는 여러가지가 많이 있습니다만, 특히 공교육 분야에서 학습의 난이도 조절에 실패한 것이 크다고 생각합니다.

이것은 비단 입시에 대한 사회적 집착이 있는 한국 사회 뿐만 아니라 글로벌한 현상으로 수학의 역사적 발전 과정과 관련이 있는 부분입니다. 현대 사회에서는 수학이 당연히 중요하지만 그 문제의 상당수는 상아탑의 학자들이 풀어야 할 문제일 것 입니다. 과학기술을 발전하고 공학에 응용하며 기업의 비즈니스의 도구가 되고 이는 정치인들이 수학을 활용해서 세상을 더 좋게 만들어야 한다는 원대한 꿈도 가질 수 있게 합니다.

더 나아가 수학을 활용하여 미시의 세계와 거시 세계를 탐구하여 인간의 의식과 활동 범위를 전 우주적 범위로 확장하는 것도 가능할 것 입니다. 우주선을 제작해서 화성에 탐사선을 보내는 것은 수학에 바탕을 둔 물리학이 없으면 불가능합니다. 이런 것들은 연구자들이 풀어야할 숙제입니다.

그런데 일반적인 사람들의 수학적 생활은 어떤가? 잘 안됩니다. 개인적으로 그 이유의 상당수는 부실한 공교육에 있다고 봐도 과언이 아니라고 생각합니다. 중학교 수학 교과서 부터 잘못되었다고 생각합니다.

왜냐하면 중학교 수학의 수준 조차도 인류가 수천년에 걸쳐서 얻은 수학적 지식을 모아놓은 것인데 천진난만한 아이들에게 공식부터 주고 수천년 인류의 지성을 강요하는 모양이니 당연히 받아들이기 어렵습니다. 이것은 80대20의 법칙에 의해서 처음부터 수에 통달한 재능을 가진 아이들은 수리적 학업성취도에서 승승장구 하게 하고 나머지 아이들을 배제시키는 효과를 낳습니다. 어른들은 수학을 못하는 아이들을 탓하지만 그런 어른들은 매우 질이 나쁜 어른들이라고 생각합니다. 왜냐하면 아이들을 나무라는 어른들의 두뇌에도 수학적 사고는 별로 탑재된 사람이 없을 테니까요.

f(x) = y, a + b = c, y = ax + b, y = x^2 이러한 문자의 연속은 무엇을 의미할까요? 아니 이 문자를 처음 본 순수한 중학교 1학년 아이가 무슨 생각을 해야 옳은 걸까요? 어른들은 처음에 이 문자를 봤을 때 의미를 부여할 수 있었을까요? 그렇습니다. 이것을 처음 보는 아이들에겐 의미가 없는 알파벳의 나열입니다.

우주에 외계인이 존재한다면 그들과 소통할 수 있는 첫번째 언어는 수학이라고 말합니다. 나사(NASA)가 태양계 밖으로 보낸 우주선 보이저 호의 금속 디스크에는 수광년 밖에 사는 외계인들도 지구의 위치를 찾아낼 수 있도록 수학적인 암호(코드)가 기록되어 있다고 합니다. 외계의 지성체가 있다면 수학으로 소통할 수 있다고 주장하는 근거는 자연입니다.

자연은 수학의 균형안에 존재하기 때문입니다. 물론 3차원 세계를 사는 인간이 여러 차원이 존재하는 수학의 모든 비밀을 풀어낸 것은 아니기 때문에 우리가 아는 것도 한계가 있지만 그래도 3차원 적인 깨달음 자체만으로도 지구에 번영할 정도의 능력을 주는 것입니다. 이는 지구의 역사상 인간 이전에 살았던 공룡이라던가 온갖 생명체 중에서 가장 우세한 종이 인간이기 때문입니다. 원시의 동물 중 인간의 가장 큰 경쟁자는 군집활동으로 일사불란한 전투력을 갖춘 늑대 정도였다고 합니다. 그런 역사 때문인지 늑대는 개와 DNA 호환이 되지만 아직까지도 개량종인 개처럼 인간에게 복종 하지는 않습니다.

수학은 특정한 학문이기도 하지만 자연을 이루는 원리이고 인간과 생명체가 수학의 균형안에 존재하기 때문에 사람이라면 모두 수학을 이해할 수 있습니다. 수학을 가르친 답시고 아이들에게 스트레스를 주고 강요한 결과는 ‘수포자’ 라는 이상한 단어로 아이들의 자신감에 상처를 주게 될 뿐이지요.

수포자들도 인생을 살다 보면 수학의 균형을 이해하는 순간이 옵니다.

그 계기가 늦게 오면 수학을 못하고 빨리 오면 수학을 잘한다? 그것은 무의미합니다. 자연의 원리는 수학의 균형에 있고 더 중요한 것은 인간은 자연의 신비를 아직 풀지 못했습니다. 자연의 언어인 수학을 완전히 해석하지 못했기 때문이지요.

이 포스팅 시리즈는 뭐 IT수학을 위한 것이기도 한데 일단 수에 대한 개념 자체를 다시 잡기 위해서 시작합니다. 수란 무엇인가?에서 자연수나 정수같은 이야기를 했는데 그런 이야기는 참으로 지루합니다. 수학 전공한 사람들이 대학 강의실에서나 통하는 이야기들이지요. 일반인들은 그 높은 개념을 바닥으로 끌고와서 거기서 부터 출발하는게 이해가 쉽습니다.

해서 수의원리 첫번째 포스팅은 수의 원리 – 자연수입니다. 첫번째 포스팅이니까 1부터 10까지의 자연수에 대해서만 이야기하겠습니다.

… 1부터 10까지라고 해서 초등학생의 영역이라고 생각할 수도 있는데 그렇지 않습니다. 심오한 깊이는 거기서 부터 시작하는 겁니다. 자연수를 분리한 것은 그게 사람들의 이해가 쉽습니다. 분수나 무한 소수 같은 것 보다는 쉬운데 수를 다루기 위해서는 어차피 똑같은 내용이긴 하죠.

자연수 원리

자연수(Natural)라는 용어를 사용하지만 그것이 자연을 설명하는게 아니라고 생각하는 사람도 있을 겁니다. 정확히 이야기하면 그냥 보이는 것이 자연스러운 수에 가깝습니다.

오늘 회원의 증가 숫자는 -2명이다.
-> 증가가 -2명? 아마도 2명이 회원을 탈퇴한 것을 말하는 거겠죠. 자연스럽지 않습니다.
일평균 고객의 숫자는 1.5명입니다.
-> 아마 이틀 동안 3명이 온 것을 말하는 것 같네요. 역시 자연스럽지 않습니다.
사람이 0명 있습니다.
-> 0명이 있다? 사람이 안보입니다. 자연스러운 수는 아닙니다.

관광객이 무한대로 옵니다.
-> 관광객이 무한대로 온다구요? 천년 만년 관광객이 오나요? 만약 무한의 관광객이 있다면 첫번째 관광객부터 숫자가 주어지는 한도 내에서 자연수로 번호를 붙여줄 수 있을 겁니다. 하지만 마지막에 오는 사람은 번호를 줄수가 없네요. 무한대라는게 마지막이 없다는 말인데… 유한한 세월을 사는 인간이나 혹은 우주 조차 시작과 끝이 있다는 개념에서는 눈에 보이지 않습니다. 자연스럽지 않은 수 입니다.

자연수는 언뜻 자연스럽게 보이지만 잠깐 생각해보면 그것은 인간의 착각이란 것을 알 수 있습니다. 별로 자연스럽지 않죠.

1부터 10까지의 특성 – 자리수

수학의 주제는 워낙 광범위하기 때문에 때때로 그 범위를 축소하는 것에서 새로운 아이디어를 얻기가 쉽습니다. 수의 특징인 패턴의 반복이라는 측면에서도 그렇죠.

자연수 기초로써 자연수 1부터 10까지를 알아보겠습니다. 약간 어이없을 수 있지만 이 포스팅에서는 한 가지 아이디어에만 집중합니다.

그 전에 수에는 체계가 있습니다. 10진법은 가장 광범위하게 쓰이는데 딱히 이 10진법이 다른 진법에 비해서 우월하거나 그런 것은 없습니다. IT수학에서는 이진법의 배수 진법인 2진법, 8진법, 16진법 이런게 도움이 되는데 10진법은 이들과 호환이 잘 안됩니다. 그런데 왜 10진 표기를 하느냐? 사람이 편해서입니다.

사람은 손가락이 10개이고 발가락이 10개인데 발가락은 잘 안쓰죠. 발가락 까지 셀려면 신발을 벗어야 하는데 그런 문화는 세계를 통틀어 별로 없습니다.

해서 인간의 의식에 가장 유리한 10진법이 발달하게 됩니다.

0에 관하여 이야기하면 자연수는 0을 배제합니다. 그런데도 불구하고 자리수를 표기하기 위해서 10, 100 처럼 0을 사용합니다. 뭔가 자연수라면서 0은 없고 자리수만 0으로 관리한다는게 썩 느낌이 별로입니다. 나누기를 할 때 나누어 떨어지면 나머지가 0이라고 하지요. 거기서 부터 벌써 자연수도 0을 의식할 수 밖에 없습니다. 딱 맞아 떨어지는 것은 자리수가 0이라는 의미입니다. 십진수라면 열개의 숫자를 세면 10개는 하나의 단위로 두고 또다시 10개로 향하는 숫자 체계가 시작됩니다.

즉 숫자 열개를 세면 자리수가 변화되고 그것을 하나로 치는 것 입니다. 열개의 숫자를 하나로 묶는 작업을 하다 보면 그 열개의 묶음이 열개가 됩니다. 이것을 100이라고 합니다. 자연수의 증가는 자리수가 바뀌는 것을 향해서 숫자가 진행됩니다. 1은 2로 가야 하고 2는 3으로 … 가다가 9까지 가면 이 단위를 하나로 묶고 다시 1부터 시작하는 체계입니다.

언뜻 보면 이해하기 쉬운 규칙이지만 잘 보면 그렇게 쉬운 것도 아닙니다. 왜냐하면 10진법은 기하학적으로 별로 직관적이지 않습니다. 2진법이나 3진법이 묘미가 있죠. 이진법의 2 x 2 = 4 이며 2 x 2 x 2 x 2 = 16으로 10 x 10 = 100 과 10 x 10 x 10 x 10 = 10000는 느낌이 다릅니다. 아마도 인간은 10같은 많은 숫자를 한번에 머리속에서 넣고 연산을 하는게 쉽지 않은 것 같습니다. 손가락이 10개 달려 있을 뿐이지 그것의 관계를 파악하는게 잘 안됩니다.

이는 인간관계에서도 나타나는데요. 우리가 인간관계는 사람 대 사람으로 봅니다. 연인관계, 부부관계, 부모 자식관계, 사제관계, 친구 사이 이것들은 1대1 대응 입니다. 그런 면에서 2진법이나 혹은 3진법까지는 의미가 있는데 그 이상의 수는 잘 인식이 안되도록 진화한 것인지도 모르겠습니다.

성부성자성령, 삼세번 이런 것들은 인간이 수를 인식하는데 꽤 영향을 미친다고 봅니다.

이것은 왜 그런 건지 1부터 10까지의 수를 가지고 이야기 해보겠습니다.

*여기서 어떤 수학적 참된 진리를 논하는 것은 아닙니다. 수라는 것에 대한 감각을 한번 편하게 느껴보는 것이 목적입니다. 서민적 수학을 추구하는 거지요.

그리고 1부터 10을 설정한 것은 10진법을 사용하기 때문입니다. 진법은 자연수가 무한한 만큼 무한히 존재합니다. 인간이 많이 쓰는 진법은 몇가지 한정되어 있으니까 그리고 그 진법을 해석하는 것을 다시 10진법으로 한다는 부분을 감안합니다.

자연수 1과 2

1은 가장 중요한 숫자 중 하나입니다. 가장 가치 있는 것을 넘버원이라고 합니다. Top 1 은 Best 이기도 하고 가장 좋은 것 입니다. 수로써 가치는 자연수로 더 이상 나눌 수 없는 수 입니다. 모든 자연수는 1의 합이고 또 곱입니다. 그러니까 1은 본질적인 수 입니다. 자연수로는 더이상 분해되지 않는 것으로 유일합니다.

1은 중요한 숫자인데요. 수학적으로는 말할 것도 없고 현재 세계의 메이저 종교는 유일신 사상입니다. 그런면에서 1은 신성한 숫자입니다. 인간 세계의 통치자인 대통령, 왕, 황제 등은 모두 한명입니다. 하여튼 이 세상에 최고라는 것은 다 이 1이란 숫자를 달고 있습니다. 올림픽 금메달도 1등, 월드컵 우승팀도 1위, 모든 세계신기록은 1위라는 타이틀을 줍니다. 사람의 목숨도 하나, 세상에 존재하는 자신도 한명입니다. 그런 면에서 1은 존재만으로 의미가 있는 숫자입니다.

다음은 2 입니다. 2는 관계를 만들기 위한 최소의 숫자이죠. 가정을 이루는데 남자와 여자가 두 사람이 필요하고 인간 종족의 번식의 기본입니다. 일부 다처제 등이 허용되는 사회가 있긴 하지만 사회를 떠나서 남자와 여자가 최소한 1명씩 있어야 인간 종족이 후손을 남기고 번영할 수 있습니다. 뭐 요새는 동성 결혼도 한다지만 암수로 생식을 하는 자연 본래의 원리는 아닙니다.

즉 2라는 숫자는 1대1 대응관계이기도 하고 존재란 것은 서로 다를 수 있다는 것을 의미합니다. 태양이 있으면 달이 있고 낮이 있으면 밤이 있습니다. 하루에는 낮이 한번 있고 밤이 한번 있습니다. 어느날 갑자기 밤이 두번 오면 그건 지구의 위기입니다. 태극기의 문양을 보면 음과 양의 사상을 표현 했습니다. 음이 하나고 양이 하나가 서로 꼬리를 잡는 형태로 되어 있습니다.

1이란 숫자가 유일한 존재에 대한 가치를 이야기 한다면 2는 이제 관계의 본질을 말합니다. 물론 세상에는 2사람만의 관계가 아니라 세사람, 네사람 등 온갖 복잡한 관계가 있습니다. 하지만 그것들도 결국 두개의 관계에서 출발합니다. 그런면에서 2라는 숫자는 참 편합니다. 아내와 남편의 관계, 아버지와 아들의 관계, 어머니와 딸의 관계 이렇게 정해져 있습니다. 신부님이나 수녀님은 신과 나와의 관계도 설정합니다.

그룹으로 봐도 이것이 나오지요. 국가와 개인의 관계, 기업과 고객의 관계, 나라와 나라의 관계 예를 들어 일본이란 나라는 1억 명이 넘는 인구가 있고 한국은 5천만의 인구가 살고 있습니다. 그런데 이 수많은 관계를 퉁쳐서 한국과 일본의 관계 – 라고 도매급으로 넘길 수 있습니다. 숫자 2라는 것은 관계에 있어서 대단한 도매급 파워를 가집니다.

최종적으로는 인간과 자연의 관계같이 자연 1과 인간 1의 비율로 보기도 하지요. 사실 물질계 에서는 자연이 압도적인데 다소 인간의 오만함이 묻어있는 표현입니다. 광활한 우주를 바라보면 인간은 자연을 어떻게 할 수 있는 존재는 아닙니다. 인간은 그냥 자연의 일부분이죠.

자 이제 숫자 2까지 보면 숫자로써는 거의 다 나온 것이죠. 진법도 이진법부터 시작합니다. 온갖 일을 다 처리할 수 있는 컴퓨터는 오로지 0과1만 가지고 연산을 처리합니다. 불 논리(Boolean algebra)를 창안한 수학자 조지 불은 논리 대수를 정의함으로써 이진수만으로 이 세상의 거의 모든 논리를 구현할 수 있다는 것을 증명했습니다. 우리가 PC모니터에서 보는 모든 것, CPU내부적인 동작 등 모든 것이 본질적으로 0과1로 이루어져 있습니다. 디지탈 회로의 논리게이트가 작동하는 원리입니다.

이진법은 1만 있고 2는 없습니다. 십진법이 1부터 9까지 있고 10이 없는것과 같습니다. 이진법이 우리에게 알려주는 것은 수가 진행하기 위해서는 최소한 두개가 필요하다는 점입니다. 0, 1, 10, 11, 100 이런 식으로 진행이 됩니다. 일진법이란 것도 있다고 하는데 일진법이 할 수 있는 것은 단지 1, 11 ,111, 1111, 이런 식으로 작대기를 긋는 것 입니다. 이런 방법을 고대에 수를 표현하기 위해서 사용하기도 했다고 합니다. 하지만 적절한 진법을 사용하면 효율이 늘어나기 때문에 인간은 진법을 사용하는 방향으로 진화한 것 입니다.

2에는 1에 없는 승수 개념이 나옵니다. 2의 2승, 3승, 4승… 숫자 자신을 자신으로 복제하는 것 입니다. 1은 아무리 제곱해도 1입니다. 2부터는 복제가 일어나서 소위 기하급수적으로 크다고 말합니다. 자신을 복제하는 것은 자연계와 생명체가 확장하기 위한 방식입니다. 2의 승수를 따라가다 보면 엄청난 숫자가 빠르게 증식하는 것을 알 수 있는데요. 어느 정도 인지 정수를 길게 쓸 수 있는 파이썬으로 한번 출력해보겠습니다.

아래의 코드는 파이썬으로 2의 100승까지 출력합니다. 결과를 보면 2의 100승의 자리수는 무려 31자리입니다. 백만이 0이 여섯개니까… 세는 방법도 모르겠습니다. 일상생활에서 쓸일이 없는 엄청난 수인 것 같습니다.

for i in range(1,101):
    if(i%10 == 1):
        print('-------')
    x = 2**i
    print('2^' + str(i) + '=' + str(x), end=' , ')
    print(len(str(x)))

하지만 많은 미생물이 30분마다 분열합니다. 바깥에다가 음식을 놔두고 몇시간만 놔둬도 상하는 이유는 음식을 부패시키는 세균이 2의 지수적인 분열을 하기 때문입니다. 2의 지수는 등비가 2인 등비수열 ar^n 이므로 최초 음식에 있었던 세균의 수를 측정함으로써 몇시간 후에 맛이 갈지(?)를 예측할 수 있습니다.

세균이 분열하면 2가 된다는 것은 자연의 원리에 있어서 2가 매우 중요함을 알 수 있습니다. 분열은 쪼개서 나누는 것인데 쪼개지만 수가 늘어나면서 집단이 커집니다. 일상생활에서는 무언가를 두개로 나누면 몫이 줄어듭니다. 하지만 수의 세계에서는 2로 나누면 늘어나기도 합니다. 하나가 두개가 되는 겁니다. 미생물이 분열할 때에 3개가 아니라 2개로 분열하는 것은 자연이 우리에게 말해주는 교훈입니다.

무언가 성장을 한다면 두배의 성장을 목표로 해야 하는 것 입니다. 그 두배가 다시 두배가 되는 식으로 기하급수적인 성장이 가능합니다.

2라는 숫자는 여러가지로 가장 중요한 숫자 중 하나입니다.

요약

자연수에 대한 이야기를 해봤습니다. 어떤 수학적인 정의를 하기 위해서가 아니라 수라는 것 자체에 대한 내용으로 일반적인 수학의 교육과정 내용과는 상관이 없습니다만, 자연수의 특징에 대해서 더 잘 이해할 수 있다면 의미가 있을 거라고 봅니다.

IT소프트웨어에서도 여러가지 수학적 응용이 들어가 있는데 컴퓨터 자체가 계산하는 기계입니다.수학이 없이는 존재할 수 없는 기계입니다. 재미있는 게임도, 넷플릭스 영화도, 인터넷 채팅과, 온라인 쇼핑들을 즐기고 있다면 이미 수학이 완성한 세상을 충분히 즐기고 있는 것 입니다.

이런 것들을 즐기는데는 수학을 생각할 필요도 없습니다만, IT기술을 구현하기 위해서는 적어도 이 수학에 대한 개념이 서있으면 좋을 것 같습니다. 그것도 0과1만 알면 되니까 상당히 원초적이지요.

IT수학이라니 약간 잡스런 컨텐츠긴 하지만 그렇다고 수학 교재의 내용을 풀어서 쓰면 그것도 참 재미없는 내용이라 이런 잡기의 방식으로 종종 수학 컨텐츠를 올릴 생각입니다.

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외부 참고 문서

What are Natural Numbers? Definition, Examples, and Facts (cuemath.com)

자연수의 원리 1과2 – IT수학기초 2